2018年04月03日

フーリエ変換(17)・・・ガウシアン

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ガウシアンのフーリエ変換を求める前にガウシアンについて説明します。

e^(-ax^2)という形の関数をガウシアンまたはガウス型関数と呼びます。

ガウシアンのグラフは次のようなグラフになります。

fouriergr17-1b.jpg

ピークの半分の高さになるときの全横幅を半値全幅(FWHM)と呼びます。

fourier17-1.jpg

fourier17-2.jpg

よって、

fourier17-3.jpg

従って、FWHMは

fourier17-4.jpg

となります。

(注意)lnはlogeのことで、自然対数です。

今回はここまでです。
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2018年03月30日

桜咲く!

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お隣の家の桜の木がいつの間にか満開です。

sakura2.JPG

sakura1.JPG

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2018年03月29日

フーリエ変換(16)・・・指数関数のフーリエ変換

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では、いろいろな関数のフーリエ変換を求めてみましょう。

まず、次の関数です。

fourier16-1.jpg

グラフは次のようになります。

fouriergr16-1.jpg

このグラフのフーリエ変換は、

fourier16-2.jpg

となります。

これを実部と虚部に分けてみると

fourier16-3.jpg

から

fourier16-4.jpg

a/a^2+k~2のグラフは次のようになります。

fouriergr16-2.jpg

このグラフは左右対称になっている偶関数です。このような関数をローレンツ型関数と呼びます。

面白いことに、このグラフを積分するとπになります。

実際、k=a・tanΘと変数変換して積分してみると

fourier16-5.jpg

となります。

また、k/a^2+k^2のグラフは次のようになります。

fouriergr16-3.jpg

kが大きいときにはほとんど-1/kと同じグラフになります。また、k=±aでピークになります。

今回はこれで終了です。

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2018年03月28日

フーリエ変換(15)・・・単一方形パルスのフーリエ変換

nanako1.jpg

それでは、単一方形パルスのフーリエ変換を求めてみましょう。

fouriergr15-1.jpg

周期2mlの係数Cnは

fourier14-1.jpg

従って、

fourier15-1.jpg

すなわち

fourier15-2.jpg

ここで、

fourier14-4.jpg

から、

fourier15-3.jpg

l/2=Wとおくと

fourier15-4.jpg

これが単一方形パルスのフーリエ変換です。

今回はここまでです。
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2018年03月27日

フーリエ変換(14)・・・フーリエ変換への拡張その4

nanako1.jpg

方形波の例のように、周期mlを長くすると係数Cnは連続関数のように緻密になります。

周期mlのフーリエ級数は、

fourier14-1.jpg

従って、

fourier14-2.jpg

さて、複素形式のフーリエ級数の式より

fourier14-3.jpg

ここで

fourier14-4.jpg

つまり

fourier14-5.jpg

従って、

fourier14-6.jpg

整理すると、

fourier14-7.jpg


単一パルスまで表現するためにm→∞として

fourier14-8.jpg


まとめると

フーリエ変換:

fourier14-9.jpg

フーリエ逆変換:

fourier14-10.jpg

または、

fourier14-11.jpg

今回はこれで終わりです。

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2018年03月26日

フーリエ変換(13)・・・フーリエ変換への拡張その3

nanako1.jpg

前回の続きです。周期4lの方形波についてやっていました。

周期4lの方形波のCnのグラフです。

fouriergr13-1.jpg

周期mlの方形波のCnのグラフは

fouriergr13-2.jpg

m→∞のとき、

fourier13-1.jpg

となります。

今回はこれで終わりです。

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