2018年04月04日

フーリエ変換(18)・・・ガウシアンのフーリエ変換

nanako1.jpg

ガウシアンのフーリエ変換を求めてみましょう。

まず、

fourier18-1.jpg

次になぜか微分します。

fourier18-2.jpg

微分を積分の中に入れて

fourier18-3.jpg

ここで、

fourier18-4.jpg

から、

fourier18-5.jpg

部分積分より

fourier18-6.jpg

右辺の第一項は0になるので、整理すると

fourier18-7.jpg

すなわち、次の微分方程式になります。

fourier18-8.jpg

これを解くために右辺のG(ω)を左辺に移行して両辺を積分すると

fourier18-9.jpg

左辺は

fourier18-10.jpg

右辺は

fourier18-11.jpg

すなわち

fourier18-12.jpg

Cを求めると

fourier18-13.jpg

fourier18-14.jpg

従って、

fourier18-15.jpg

まとめると次のようになります。

fourier18-16.jpg

ガウシアンのフーリエ変換もまたガウシアンということになります。

今回はここまでです。
posted by tsurutsuru at 08:08| Comment(0) | 日常茶飯事
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