2018年04月25日

フーリエ変換(20)・・・ガウシアンのフーリエ変換の応用例

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光(電磁波)のパルスを考えてみます。

光ファイバーは、現在、世界中で光通信の伝送路に使われています。

光ファイバーは、極めて透明度の高い石英ガラスでできた極細のガラスの管です。

外径は100μm(マイクロメートル:1×10^-6m)で、中心の光が通る部分の直径は10μmです。

次のグラフは石英ガラスファイバーの光吸収特性です。

fouriergr20-1.jpg

電界の振幅はガウシアンで表されるとします。

この電界の振幅を

fourier20-1.jpg

と書くと、ガウシアンの中心の振動数(周波数)をf0(=光速/1.55μm)として

fourier20-2.jpg

ある振動数fの電界の波は、振幅

fourier20-1.jpg

のサイン波なので、角振動数

fourier20-3.jpg

を使って、

fourier20-4.jpg

と表すことができます。




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2018年04月04日

フーリエ変換(18)・・・ガウシアンのフーリエ変換

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ガウシアンのフーリエ変換を求めてみましょう。

まず、

fourier18-1.jpg

次になぜか微分します。

fourier18-2.jpg

微分を積分の中に入れて

fourier18-3.jpg

ここで、

fourier18-4.jpg

から、

fourier18-5.jpg

部分積分より

fourier18-6.jpg

右辺の第一項は0になるので、整理すると

fourier18-7.jpg

すなわち、次の微分方程式になります。

fourier18-8.jpg

これを解くために右辺のG(ω)を左辺に移行して両辺を積分すると

fourier18-9.jpg

左辺は

fourier18-10.jpg

右辺は

fourier18-11.jpg

すなわち

fourier18-12.jpg

Cを求めると

fourier18-13.jpg

fourier18-14.jpg

従って、

fourier18-15.jpg

まとめると次のようになります。

fourier18-16.jpg

ガウシアンのフーリエ変換もまたガウシアンということになります。

今回はここまでです。
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2018年04月03日

フーリエ変換(17)・・・ガウシアン

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ガウシアンのフーリエ変換を求める前にガウシアンについて説明します。

e^(-ax^2)という形の関数をガウシアンまたはガウス型関数と呼びます。

ガウシアンのグラフは次のようなグラフになります。

fouriergr17-1b.jpg

ピークの半分の高さになるときの全横幅を半値全幅(FWHM)と呼びます。

fourier17-1.jpg

fourier17-2.jpg

よって、

fourier17-3.jpg

従って、FWHMは

fourier17-4.jpg

となります。

(注意)lnはlogeのことで、自然対数です。

今回はここまでです。
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