2018年03月30日

桜咲く!

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お隣の家の桜の木がいつの間にか満開です。

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2018年03月29日

フーリエ変換(16)・・・指数関数のフーリエ変換

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では、いろいろな関数のフーリエ変換を求めてみましょう。

まず、次の関数です。

fourier16-1.jpg

グラフは次のようになります。

fouriergr16-1.jpg

このグラフのフーリエ変換は、

fourier16-2.jpg

となります。

これを実部と虚部に分けてみると

fourier16-3.jpg

から

fourier16-4.jpg

a/a^2+k~2のグラフは次のようになります。

fouriergr16-2.jpg

このグラフは左右対称になっている偶関数です。このような関数をローレンツ型関数と呼びます。

面白いことに、このグラフを積分するとπになります。

実際、k=a・tanΘと変数変換して積分してみると

fourier16-5.jpg

となります。

また、k/a^2+k^2のグラフは次のようになります。

fouriergr16-3.jpg

kが大きいときにはほとんど-1/kと同じグラフになります。また、k=±aでピークになります。

今回はこれで終了です。

posted by tsurutsuru at 10:52| Comment(0) | 日常茶飯事

2018年03月28日

フーリエ変換(15)・・・単一方形パルスのフーリエ変換

nanako1.jpg

それでは、単一方形パルスのフーリエ変換を求めてみましょう。

fouriergr15-1.jpg

周期2mlの係数Cnは

fourier14-1.jpg

従って、

fourier15-1.jpg

すなわち

fourier15-2.jpg

ここで、

fourier14-4.jpg

から、

fourier15-3.jpg

l/2=Wとおくと

fourier15-4.jpg

これが単一方形パルスのフーリエ変換です。

今回はここまでです。
posted by tsurutsuru at 08:48| Comment(0) | 日常茶飯事

2018年03月27日

フーリエ変換(14)・・・フーリエ変換への拡張その4

nanako1.jpg

方形波の例のように、周期mlを長くすると係数Cnは連続関数のように緻密になります。

周期mlのフーリエ級数は、

fourier14-1.jpg

従って、

fourier14-2.jpg

さて、複素形式のフーリエ級数の式より

fourier14-3.jpg

ここで

fourier14-4.jpg

つまり

fourier14-5.jpg

従って、

fourier14-6.jpg

整理すると、

fourier14-7.jpg


単一パルスまで表現するためにm→∞として

fourier14-8.jpg


まとめると

フーリエ変換:

fourier14-9.jpg

フーリエ逆変換:

fourier14-10.jpg

または、

fourier14-11.jpg

今回はこれで終わりです。

posted by tsurutsuru at 08:26| Comment(0) | 日常茶飯事

2018年03月26日

フーリエ変換(13)・・・フーリエ変換への拡張その3

nanako1.jpg

前回の続きです。周期4lの方形波についてやっていました。

周期4lの方形波のCnのグラフです。

fouriergr13-1.jpg

周期mlの方形波のCnのグラフは

fouriergr13-2.jpg

m→∞のとき、

fourier13-1.jpg

となります。

今回はこれで終わりです。

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2018年03月25日

フーリエ変換(12)・・・フーリエ変換への拡張その2

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前回の続きです。今度は周期4lの方形波について係数Cnがどうなるかを調べます。

fouriergr12-1.jpg周期4lの方形波のグラフ

sinの項は遇関数で積分すると0になります。

まず、n≠0のとき、

fourier12-1.jpg

ここで -l/2≦x≦l/2の時、f(x)は1で、それ以外では0なので

fourier12-2.jpg

n=0のときは、

fourier12-3.jpg

従って、

n=-3のとき   C-3=1/3π・sin3π/4

n=-2のとき   C-2=1/2π・sinπ/2

n=-1のとき   C-1=1/π・sinπ/4

n=0のとき    C0=1/4

n=1のとき    C1=1/π・sinπ/4

n=2のとき    C2=1/2π・sinπ/2

n=3のとき    C3=1/3π・sin3π/4

のようになります。

途中ですが今回はここまでです。


posted by tsurutsuru at 09:40| Comment(0) | 日常茶飯事