2017年06月13日

読者を失うことを覚悟でツルツルの数学講座をやっています

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ただでさえ訪問者の少ないこのブログで数学講座をやっていうのですから、さらに訪問者を失います。

でも数学講座は私には楽しいのでやめられません。

統計学で一区切りついたらいま巷で人気のガロア理論をやりたいと思っています。大学時代のゼミで選んだ位相空間もやり直したいですね。

ということでしばらくは訪問者激減を覚悟でツルルツの数学講座を続けたいと思います。

posted by tsurutsuru at 19:58| Comment(0) | 日常茶飯事

ツルツルの数学講座「統計学」・・・t分布(2)

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t分布の2回目は、応用例として、回帰分析の相関係数の妥当性の検定に使われる場合を説明します。

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「相関関係がない」ときに、上記の変数tが自由度n-2のt分布に従うとうことに注意してください。

それでは、例題で考えていきましょう。

〔例題〕38人の学生の身長と体重を測定したところ、身長と体重の相関係数は0.5でした。身長と体重は無相関という仮説を有意水準5%で検定しなさい。
〔解答〕身長と体重ですから、まあ無相関とは言うことはないことはすぐわかるのでこの仮説は棄却されるだろうことは想像できますが、t分布を使ってちゃんと検定してみます。

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3.464は5%点の2.028より大きいので、「身長と体重は無相関である」という帰無仮説は棄却されました。

ちなみにこのケースでは、3%の有意水準でも1%の有意水準でも仮説は棄却されます。当然と言えば当然の結果ですが、t分布を使ってちゃんと検定するとこうなるわけです。

この例から分かるようにt分布は統計調査では必須ですね。

これでt分布の説明は終わりです。

次回はt分布の確率密度関数の証明をやります。

では。


posted by tsurutsuru at 09:35| Comment(0) | 日常茶飯事

ツルツルの数学講座「統計学」・・・t分布(1)

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いよいよt分布です。

t分布が使われるのは、「正規分布を持つ母集団」から取り出した「標本の平均」を対象とする場合で

      母平均μと母分散σ^2が不明の場合

です。母平均と母分散が不明というのは、一般の統計調査ではよくあることでしょう。

この場合、

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ここで新しい確率変数tを定義し、その確率密度関数を以下に示します。

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(訂正:式の証明は一番最後の回でやります)

いつもながら最初にこの式を導き出した人には敬服です。

いつものようにExcelにt分布用の組み込み関数がありますので、それを使って自由度4と50のt分布のグラフを描いてみましょう。

t分布用の組み込み関数とは

      TDIST(h,m,l) とその逆関数TINV(p,m)

です。mは自由度で、lは1のとき片側分布を計算し、2のとき両側分布を計算します。

確率密度関数g(t, m)を使ってl=1の場合を書くと次のようになります。

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さて、グラフですが次のようになります。

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赤が自由度50で、黒が自由度4のグラフです。片側だけ表示しています。マイナス側ではh=0の地点で折り返したグラフになります。

自由度が30ぐらいになるとほとんど正規分布のグラフと変わらなくなります。

では、次回は回帰分析の相関係数の妥当性の検定にこのt分布を使ってみます。とても楽しみです。



posted by tsurutsuru at 01:00| Comment(0) | 日常茶飯事