2018年04月04日

フーリエ変換(18)・・・ガウシアンのフーリエ変換

nanako1.jpg

ガウシアンのフーリエ変換を求めてみましょう。

まず、

fourier18-1.jpg

次になぜか微分します。

fourier18-2.jpg

微分を積分の中に入れて

fourier18-3.jpg

ここで、

fourier18-4.jpg

から、

fourier18-5.jpg

部分積分より

fourier18-6.jpg

右辺の第一項は0になるので、整理すると

fourier18-7.jpg

すなわち、次の微分方程式になります。

fourier18-8.jpg

これを解くために右辺のG(ω)を左辺に移行して両辺を積分すると

fourier18-9.jpg

左辺は

fourier18-10.jpg

右辺は

fourier18-11.jpg

すなわち

fourier18-12.jpg

Cを求めると

fourier18-13.jpg

fourier18-14.jpg

従って、

fourier18-15.jpg

まとめると次のようになります。

fourier18-16.jpg

ガウシアンのフーリエ変換もまたガウシアンということになります。

今回はここまでです。
posted by tsurutsuru at 08:08| Comment(0) | 日常茶飯事

2018年04月03日

フーリエ変換(17)・・・ガウシアン

nanako1.jpg

ガウシアンのフーリエ変換を求める前にガウシアンについて説明します。

e^(-ax^2)という形の関数をガウシアンまたはガウス型関数と呼びます。

ガウシアンのグラフは次のようなグラフになります。

fouriergr17-1b.jpg

ピークの半分の高さになるときの全横幅を半値全幅(FWHM)と呼びます。

fourier17-1.jpg

fourier17-2.jpg

よって、

fourier17-3.jpg

従って、FWHMは

fourier17-4.jpg

となります。

(注意)lnはlogeのことで、自然対数です。

今回はここまでです。
posted by tsurutsuru at 10:48| Comment(0) | 日常茶飯事

2018年03月30日

桜咲く!

nanako1.jpg

お隣の家の桜の木がいつの間にか満開です。

sakura2.JPG

sakura1.JPG

posted by tsurutsuru at 01:40| Comment(0) | 日常茶飯事

2018年03月29日

フーリエ変換(16)・・・指数関数のフーリエ変換

nanako1.jpg

では、いろいろな関数のフーリエ変換を求めてみましょう。

まず、次の関数です。

fourier16-1.jpg

グラフは次のようになります。

fouriergr16-1.jpg

このグラフのフーリエ変換は、

fourier16-2.jpg

となります。

これを実部と虚部に分けてみると

fourier16-3.jpg

から

fourier16-4.jpg

a/a^2+k~2のグラフは次のようになります。

fouriergr16-2.jpg

このグラフは左右対称になっている偶関数です。このような関数をローレンツ型関数と呼びます。

面白いことに、このグラフを積分するとπになります。

実際、k=a・tanΘと変数変換して積分してみると

fourier16-5.jpg

となります。

また、k/a^2+k^2のグラフは次のようになります。

fouriergr16-3.jpg

kが大きいときにはほとんど-1/kと同じグラフになります。また、k=±aでピークになります。

今回はこれで終了です。

posted by tsurutsuru at 10:52| Comment(0) | 日常茶飯事

2018年03月28日

フーリエ変換(15)・・・単一方形パルスのフーリエ変換

nanako1.jpg

それでは、単一方形パルスのフーリエ変換を求めてみましょう。

fouriergr15-1.jpg

周期2mlの係数Cnは

fourier14-1.jpg

従って、

fourier15-1.jpg

すなわち

fourier15-2.jpg

ここで、

fourier14-4.jpg

から、

fourier15-3.jpg

l/2=Wとおくと

fourier15-4.jpg

これが単一方形パルスのフーリエ変換です。

今回はここまでです。
posted by tsurutsuru at 08:48| Comment(0) | 日常茶飯事

2018年03月27日

フーリエ変換(14)・・・フーリエ変換への拡張その4

nanako1.jpg

方形波の例のように、周期mlを長くすると係数Cnは連続関数のように緻密になります。

周期mlのフーリエ級数は、

fourier14-1.jpg

従って、

fourier14-2.jpg

さて、複素形式のフーリエ級数の式より

fourier14-3.jpg

ここで

fourier14-4.jpg

つまり

fourier14-5.jpg

従って、

fourier14-6.jpg

整理すると、

fourier14-7.jpg


単一パルスまで表現するためにm→∞として

fourier14-8.jpg


まとめると

フーリエ変換:

fourier14-9.jpg

フーリエ逆変換:

fourier14-10.jpg

または、

fourier14-11.jpg

今回はこれで終わりです。

posted by tsurutsuru at 08:26| Comment(0) | 日常茶飯事

2018年03月26日

フーリエ変換(13)・・・フーリエ変換への拡張その3

nanako1.jpg

前回の続きです。周期4lの方形波についてやっていました。

周期4lの方形波のCnのグラフです。

fouriergr13-1.jpg

周期mlの方形波のCnのグラフは

fouriergr13-2.jpg

m→∞のとき、

fourier13-1.jpg

となります。

今回はこれで終わりです。

posted by tsurutsuru at 10:13| Comment(0) | 日常茶飯事

2018年03月25日

フーリエ変換(12)・・・フーリエ変換への拡張その2

nanako1.jpg

前回の続きです。今度は周期4lの方形波について係数Cnがどうなるかを調べます。

fouriergr12-1.jpg周期4lの方形波のグラフ

sinの項は遇関数で積分すると0になります。

まず、n≠0のとき、

fourier12-1.jpg

ここで -l/2≦x≦l/2の時、f(x)は1で、それ以外では0なので

fourier12-2.jpg

n=0のときは、

fourier12-3.jpg

従って、

n=-3のとき   C-3=1/3π・sin3π/4

n=-2のとき   C-2=1/2π・sinπ/2

n=-1のとき   C-1=1/π・sinπ/4

n=0のとき    C0=1/4

n=1のとき    C1=1/π・sinπ/4

n=2のとき    C2=1/2π・sinπ/2

n=3のとき    C3=1/3π・sin3π/4

のようになります。

途中ですが今回はここまでです。


posted by tsurutsuru at 09:40| Comment(0) | 日常茶飯事

2018年03月24日

小保方さんや亡くなられた笹井先生のことを思うと涙がでます

nanako1.jpg

小保方さんの事件のときの皆さん方の反応は凄かったです。

私はどうのこうの言う立場にないと思っていたので、そういう人たちとは一線を画していました。

もう日本中の人たちが小保方さんや笹井先生を攻撃しまくっていました。

あれを見て日本人は怖いと思いました。

もちろん、私も日本人ですけどあの時の群集心理は怖いと思いました。

私は小保方さんや笹井先生にミスはあったかと思うけど、それは学問上で解決すればいいことで、素人の私たちが口を挟むことではなかったと思っています。

普段はおとなしい日本人がなぜあの時は激しく自分たちが理解できない学問上のことを攻撃したのか不思議です。

本当に日本人の嫌な面を見てしまったなと思います。

今でも小保方さんや笹井先生は悪くないというと真っ赤になって怒ってくる人が少なくありません。

日本人は本当はきちがいばかりなんじゃないでしょうか。

posted by tsurutsuru at 09:58| Comment(0) | 日常茶飯事